Kai Londenberg's Weblog

Inhaltsverzeichnis Das JugRank System Warum ein neues System ? Turniermodus Rangberechnung Formel Effekte der Formel Parametrische Optimierung Simulation und Praxis Link zu einer funktionierenden Implementation

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Das JugRank System

Beim JugRank System handelt es sich um ein neues Turnier- und Rangsystem das im Jahr 2009 von mir für den Juggersport entworfen wurde, allerdings auch in anderen Sportarten Anwendung finden kann.

• Das JugRank Rangsystem ist ein Berechnungsverfahren das für alle Teams ihre Spielstärke berechnet
• Der Turniermodus gibt vor, wie ein Turnier abläuft, wer gegen wen spielt etc.

Warum ein neues System ?

Bei einer steigenden Anzahl von Teams die an Turnieren teilnehmen ist es wichtig, ein effizientes Turniersystem zu haben das mit möglichst wenigen Spielen ein möglichst genaues Turnierergebnis produziert.

Herkömmliche Verfahren wie das Gruppen+KO System oder das Schweizer System haben prinzipielle Schwächen die dafür sorgen dass die Ergebnisse von Turnieren sehr ungenau sind - insbesondere im Mittelfeld

Ein neues System sollte entweder mit weniger Spielen eine genauso hohe Genauigkeit wie bestehende Systeme erzeugen oder mit höchstens gleich vielen Spielen eine höhere Genauigkeit erzielen. Dabei darf die Genauigkeit in den ersten 3 Plätzen nicht schlechter werden. Wie gut ist es ?

Simulationen die das neue JugRank System mit dem Schweizer System und einem Gruppen+KO System wie es z.B. bei der Deutschen Jugger Meisterschaft die 2009 in Berlin ausgetragen wurde vergleichen, zeigen:

• Das JugRank System macht deutlich weniger Fehler als das Schweizer oder das Gruppen+KO System
• Es benötigt dafür i.A. weniger Spiele

Erstmals ist es möglich ein Turnier zu spielen, bei dem die mittleren und hinteren Plätze der Rangliste sehr gut mit den tatsächlichen Spielstärken übereinstimmen. Auch in der Spitze sind die Ergebnisse deutlich besser.

Turniermodus

Der Turniermodus ähnelt dem des Schweizer Systems - wobei es jedoch folgende Unterschiede gibt:

• Es wird das JugRank Rangsystem verwendet, statt nach Anzahl der Siege, Buchholzzahl und Feinbuchholzzahl zu sortieren
• Bei der Berechnung der Paarungen kann ein Zufallsfaktor verwendet werden der dafür sorgt, dass nicht immer die gleichen Teams miteinander spielen
• Es wird ein Finale gespielt, bei dem die Top 4 noch eine "Jeder-gegen-Jeden" Runde ausspielen.
• Gleichzeitig mit dem Finale werden Entscheidungsspiele für alle Fälle angesetzt in denen sich direkter Vergleich und Rang widersprechen

Auf diese Art werden die bekannten Schwächen des Schweizer Systems grösstenteils eliminiert.

Rangberechnung

Das Rangsystem ist ein iteratives Berechnungsverfahren, das darauf beruht dass folgende Annahmen im statistischen Mittel korrekt sind:

• Wenn Mannschaft A besser als Mannschaft B ist, wird sie im direkten Vergleich gewinnen
• Desto besser Mannschaft A im Vergleich zu Mannschaft B ist, desto besser wird ihr Punkteverhältnis im direkten Vergleich sein.
• Wenn Mannschaft A besser als Mannschaft B ist, und Mannschaft B besser als Mannschaft C, dann ist Mannschaft A auch besser als Mannschaft C
• Wenn Mannschaft A besser ist als Mannschaft B, wird sie gegen Mannschaft C kein schlechteres Punkteverhältnis erzielen als Mannschaft B

Grundsätzlich sollten Punkte gegen starke Teams "mehr Wert" sein als Punkte gegen schwache Teams. Dadurch haben wir jedoch ein Henne-Ei Problem. Wie berechnet man die Stärke eines Teams unabhängig von seinen Ergebnissen ? Ein iteratives Verfahren kann dieses Problem lösen, indem es die Ergebnisse immer weiter verfeinert bis ein Gleichgewichtszustand hinreichend genau bestimmt wurde.

Die Spielstärke eines Teams wird numerisch angegeben und zu Turnierbeginn geschätzt. Da solche Schätzungen Fehlerbehaftet sind, darf die Schätzung das Turnierergebnis nicht beeinflussen - es beeinflusst jedoch die Wahl der Spielpartner

Formel

Die Spielstärke eines Teams im Turnier ergibt sich als Mittelwert der Spielstärke die es in Einzelspielen bewiesen hat. Da sich dieses Verfahren am geeignetsten erwiesen hat, wird ein gewichteter geometrischer Mittelwert zur Berechnung dieses Wertes verwendet

Für jedes Team wird die Spielstärke iterativ berechnet. Wenn ein Team a insgesamt M Spiele hinter sich hat, lautet die iterative Berechnungsformel.

Symbol	Bedeutung
M	Anzahl der Spiele von Mannschaft a
	Stärke des Teams a nach n+1 Iterationen. Die Stärke bei Iteration 0 kann ein beliebiger Wert grösser 0 sein.
	Stärke des gegnerischen Teams in Spiel m, unter Verwendung der berechneten Spielstärke der Iteration n. Die Stärke bei Iteration 0 kann ein beliebiger Wert grösser 0 sein
	Punkte des Teams a in Spiel m
	Punkte des gegnerischen Teams in Spiel m von Team a

Für jedes einzelne Spiel einer Mannschaft wird eine Spielstärke ermittelt. Diese hängt vom Punkteverhältnis, sowie von der eigenen Stärke, sowie von der Stärke des gegnerischen Teams ab. Für jedes Spiel das eine Mannschaft gespielt hat, wird so eine Spielstärke ermittelt. Die gesamte Spielstärke ergibt sich wiederum als geometrisches Mittel aus allen Einzelnen Spielstärken. Die so berechneten Spielstärken konvergieren gegen einen Gleichgewichtszustand. I.a. ist so nach 50 bis 100 Iterationen die Spielstärke hinreichend genau bestimmt.

  1. Einzelne Spielstärken werden anhand der Spielergebnisse und den Spielstärken aus der vorherigen Iteration berechnet
  2. Die Spielstärke eines Teams wird als (gewichteter) geometrischer Mittelwert dieser Ergebnisse gebildet

Als Anfangswerte für die Spielstärken können dabei beliebige Konstanten verwendet werden. z.B. 50 für alle. Oder auch Schätzwerte für die Spielstärken. Auf die Reihenfolge der Endergebnisse hat das keinen Einfluss

Effekte der Formel

• Punkte gegen starke Teams sind mehr Wert als solche gegen schwache Teams
• Es kommt auf jeden Punkt gegen jedes Team an, nicht nur auf Sieg oder Niederlage
• Durch die Bildung des Mittelwerts werden Spielstärkeschwankungen und Zufallseffekte ausgeglichen

Parametrische Optimierung

Durch die Anpassung der Potenzen der Wurzeln innerhalb der Formel, sowie ggf. durch Anpassung des addierten konstanten Wertes (in diesem Fall standardmässig 1) kann eine Anpassung des Modells erfolgen. In diesem Zusammenhang die Formel noch zu optimieren macht allerdings wenig Sinn, bevor nicht einige echte Turnierergebnisse auf Basis des JugRank Verfahrens bekannt sind. Eine optimierung auf minimale Fehler in einer Monte Carlo Simulation wäre durchaus möglich, aber würde keinen realen Erkenntnisgewinn bringen.

Simulation und Praxis

Bei selbst durchgeführten Monte Carlo Simulationen, bei denen dieses Verfahren mit den bekannten Gruppen+KO System, sowie dem Schweizer System verglichen wurde, hat sich dieses Verfahren in jeder Hinsicht als deutlich überlegen erwiesen. Mit diesem Verfahren wurden in den Simulationen im Schnitt ca. 40 bis 50% weniger Fehler bei der Schätzung relativer Spielstärken anhand von Spielergebnissen aus Turnieren gemacht.

In dieser Saison kommt das System möglicherweise das erste mal zum Einsatz in der Praxis. Ich bin gespannt, wie es ankommt.

Link zu einer funktionierenden Implementation

Auf hannover-jugger.de kann das System bereits jetzt getestet werden.